Ο βασιλιάς του άπειρου χώρου

0
216

 

Έλενα Χατζηγιωργάκη.

«Μπορούμε να έχουμε τρεις κύριους στόχους στη μελέτη της αλήθειας: ο πρώτος, να την ανακαλύπτουμε όταν την αναζητούμε ̇ο δεύτερος, να την αποδεικνύουμε όταν την κατέχουμε ̇ο τρίτος, να την διακρίνουμε από το λάθος όταν την εξετάζουμε».

–          Blaise Pascal, De l’Esprit géométrique

O David Berlinski* στον τίτλο του βιβλίου εύστοχα περιγράφει τον Ευκλείδη ως «Βασιλιά του Άπειρου χώρου» και με μία μαθηματική και φιλοσοφική προσέγγιση αναλυτικά επεξηγεί γιατί όντως ο Ευκλείδης στέφεται «Βασιλιάς» του Άπειρου χώρου.

Ο Ευκλείδης από την Αλεξάνδρεια γεννήθηκε τον 4ο π.Χ. αιώνα και πέθανε τον 3ο π.Χ. αιώνα. Το έτος 300 π.Χ. αναφέρεται ως η περίοδος της ακμής του σύμφωνα με κάποιους ιστορικούς. Ανεξάρτητα από την αβεβαιότητα σχετικά με τα ακριβή έτη γέννησης και θανάτου του, περί το 300 π.Χ. βρισκόταν στο αποκορύφωμα των δυνατοτήτων του – ταχύνους, δραστήριος και επιβλητικός. Λέγεται επίσης ότι στα νιάτα του μαθήτευσε στην Ακαδημία που ίδρυσε ο Πλάτων, συναναστράφηκε τους φιλοσόφους της Ακαδημίας και επηρεάστηκε από τους μαθητές του Πλάτωνα. Σε μεγάλο βαθμό μένουν άγνωστες και οι συνθήκες κάτω από τις οποίες συνέθεσε το εμβληματικό του έργο, τα Στοιχεία.

Για περισσότερα από 2000 χρόνια ο όρος Γεωμετρία ήταν ταυτόσημος με την Ευκλείδεια Γεωμετρία, και Ευκλείδεια Γεωμετρία σήμαινε τα Στοιχεία του Ευκλείδη, διότι κανένα άλλο από τα εγχειρίδια αυτής της παράδοσης δεν έχει ασκήσει μεγαλύτερη επιρροή. Τα στοιχεία είναι μια μαθηματική πραγματεία, αποτελείται από 13 βιβλία και περιλαμβάνει μια συλλογή ορισμών, αξιωμάτων και θεωρημάτων. Τα αξιώματα (παραδοχές) είναι μη αποδείξιμες αλήθειες ενώ τα θεωρήματα αποδεικνύονται με μια λογική σειρά βημάτων. Το πρώτο βιβλίο των Στοιχείων περιέχει 48 προτάσεις και το δεύτερο 14. Τα δεκατρία βιβλία περιλαμβάνουν 467 προτάσεις, όμως υπάρχουν και άλλα δύο βιβλία, αβέβαιης πατρότητας, που έχουν προσαρτηθεί σε παλαιότερες εκδόσεις των Στοιχείων.

Η μεγάλη επιτυχία των Στοιχείων έγκειται στην πρωτοφανή για την εποχή καταγραφή, διατύπωση και σύνταξη ενός μαθηματικού, αξιωματικού συστήματος. Ένα αξιωματικό σύστημα είναι μια τυποποιημένη οργάνωση της διανοητικής ζωής, μια αφαίρεση από το συγκεχυμένο σύνολο. Η φιλοδοξία του Ευκλείδη ήταν να παραγάγει όλες τις προτάσεις της Γεωμετρίας από μερικές παραδοχές. Για αυτό το εγχείρημα χρειαζόταν δύο ενορατικές σκέψεις: α. οι διάφορες προτάσεις τις Γεωμετρίας μπορούσαν να οργανωθούν σε μία και μοναδική δομή και β. η αρχή της οργάνωσης που συνδέει τις γεωμετρικές προτάσεις πρέπει να είναι λογική και συνεπώς ξένη προς την ίδια τη Γεωμετρία. Η πρώτη σκέψη του εξασφάλισε την συστηματική, επισταμένη και πρωτοπόρα καταγραφή μαθηματικών ιδεών και η δεύτερη σκέψη του εξασφάλισε την αδιαμφισβήτη διαχρονικότητα του έργου του. Όπως έλεγε και ο Καρτέσιος, «υπάρχουν μόνο δύο δρόμοι, μέσω των οποίων τα ανθρώπινα όντα μπορούν να φτάσουν στην ασφαλή γνώση της αλήθειας: η προφανής ενόραση και η αναγκαία παραγωγή».

Τα τρία πρώτα αξιώματα του Ευκλείδη συνήθως παρατίθενται ως ομάδα. «Ας θέσουμε τα εξής αιτήματα», γράφει ο Ευκλείδης:

  1. Από κάθε σημείο προς κάθε σημείο φέρουμε μια ευθεία γραμμή.
  2. Μια πεπερασμένη ευθεία γραμμή της προεκτείνουμε συνεχώς σε ευθεία γραμμή.
  3. Χαράσσουμε κύκλο με οποιοδήποτε κέντρο και ακτίνα οποιοδήποτε διάστημα.

(Στην πολύ προσεγμένη έκδοση του βιβλίου από τον Τραυλό, όλες οι προτάσεις του Ευκλείδη που παραθέτει ο συγγραφέας, παρατίθενται σε σημειώσεις του μεταφραστή στην αρχαία ελληνική). Τα αξιώματα είναι λογικά, διαισθητικά σωστά αλλά μη αποδείξιμα. Όμως ο συγγραφέας θέτει τις εξής προβληματικές: μήπως είναι αποπροσανατολιστικά για τον αναγνώστη; Μήπως από μόνα τους δεν αποτελούν απαρχή ενός αξιωματικού συστήματος με την έννοια ότι κάποιο άλλο αξίωμα πρέπει να προηγηθεί (για παράδειγμα το αξίωμα «Ορίζεται/υπάρχει το σημείο»); Μήπως οι διατυπώσεις στον σύγχρονο σημασιολογικό κόσμο των μαθηματικών δεν είναι επαρκώς ακριβείς; Μήπως είναι ελλιπείς οι διατυπώσεις και αφήνουν περιθώρια για παρανοήσεις;

Από αυτές τις προβληματικές εμπνεύστηκαν μαθηματικοί όπως ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους (Carl Friedrich Gauss, 1777-1855), ο Νικολάι Λομπατσέφσκι (Nikolai Lobachevsky, 1792-1856), ο Γιάνος Μπολιάι (János Bolyai, 1802-1860) και ο Μπέρνχαρντ Ρίμαν (Bernhard Reimann, 1826-1866), οι οποίοι ανέπτυξαν τις λεγόμενες «μη-Ευκλείδειες γεωμετρίες». Όμως ακόμα και αυτές οι γεωμετρίες «λειτουργούν» επειδή ακριβώς βασίζονται στη διαχρονική Ευκλείδεια γεωμετρία.

Όμως ο David Berlinski δεν επιχειρεί μόνο μια μαθηματική προσέγγιση στο έργο του Ευκλείδη. Πρωτίστως προσδίδει μια φιλοσοφική διάσταση, επιχειρώντας να αποδομήσει το ίδιο το έργο του Ευκλείδη, καθώς και τις αντιγνωμίες των επικριτών του, και δευτερευόντως συνδέει τη μαθηματική σκέψη με την επιχειρηματολογία: «ένα επιχείρημα είναι ένα μικρό αξιωματικό σύστημα και ένα αξιωματικό σύστημα είναι ένα μεγάλο επιχείρημα».

Ο συγγραφέας μας επιφυλάσσει μια «ύπουλη» συναισθηματική διαδρομή. Μια διαδρομή αμφισβήτησης, ερωτημάτων και αμφιβολίας σε μαθηματικό και φιλοσοφικό επίπεδο. Τα βασικότερα αξιώματα αναλύονται διεξοδικά, η καθολικά αποδεκτή Λογική (ως αποδεικτική μεθοδολογία) πρυτανεύει και στο «εν κατακλείδι» του βιβλίου ο αναγνώστης έχει πεισθεί ότι δικαίως ο Ευκλείδης στέφεται «Βασιλιάς του Άπειρου χώρου».

Στην άψογη μετάφραση και απόδοση του βιβλίου από τον Γιώργο Κυριακόπουλο, ο αναγνώστης ταξιδεύει χρονικά στον κόσμο της γεωμετρίας. Μια ιστορία που ξεκινάει χιλιάδες χρόνια πριν και καταλήγει στις μέρες μας. Μια ιστορία που απευθύνεται στους λάτρεις των μαθηματικών και ειδικότερα της γεωμετρίας, σε μαθητές, φοιτητές και καθηγητές μαθηματικών, σε ανθρώπους που αναζητούν αλήθειες μέσα από τα μαθηματικά και τη φιλοσοφία (των μαθηματικών) αλλά κυρίως στους ίδιους τους επικριτές του Ευκλείδη.

*Ο David Berlinski είναι διδάκτωρ του Πανεπιστημίου Princeton, έχει διδάξει Μαθηματικά και Φιλοσοφία σε πανεπιστήμια της Αμερικής και της Γαλλίας. Έχει γράψει πολλά βιβλία εκλαϊκευμένων Μαθηματικών, μεταξύ των οποίων τα έργα “A Tour of the Calculus”, ”The Advent of the Algorithm”, και “Newton’s Gift”. Τίτλος πρωτοτύπου για το παρόν βιβλίο: “The King of Infinite Space – Euclid and his Elements” (2013).

 

INFO: David Berlinski: O βασιλιά του Άπειρου χώρου – Ο Ευκλείδης και τα «Στοιχεία» του. Εκδόσεις Τραυλός

 

 

ΑΦΗΣΤΕ ΜΙΑ ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Please enter your comment!
Please enter your name here