Της Έλενας Χατζηγιωργάκη.
Το παράδοξο μιας θέσης γοητεύει για χρόνια τους ανθρώπους , πόσο μάλλον τους μαθηματικούς . «Το Μπιζέλι και ο Ήλιος – ένα μαθηματικό παράδοξο» (εκδ. Vesta) μας ξεναγεί στον κόσμο μιας δύσκολης μαθηματικής απόδειξης, αυτής του Θεωρήματος Banach-Tarski. O συγγραφέας Leonard M.Wapner είναι καθηγητής στο Κολέγιο Ελ Καμίνο της Τόρανς στην Καλιφόρνια. Έλαβε το πτυχίο του και το μεταπτυχιακό του στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια στο Λος Άντζελες (UCLA). Κατά την τριαντάχρονη παραμονή του στο Ελ Καμίνο έχουν δημοσιευτεί κείμενά του πάνω στη μαθηματική εκπαίδευση στο The Mathematics Teacher (του Εθνικού Συμβουλίου Καθηγητών Μαθηματικών των Η.Π.Α.) και στο AMATYC Review (της Αμερικανικής Μαθηματικής Ένωσης Διετών Κολεγίων).
Ας πάρουμε όμως τα πράγματα απ’ την αρχή. Η λέξη παράδοξο, παραγόμενη απ’ τις λέξεις παρά και δόξος σημαίνει κυριολεκτικά «πέραν πίστης», δηλαδή κάτι αληθινό το οποίο δυσκολευόμαστε να πιστέψουμε. Παράδοξες προτάσεις ή συλλογισμοί μπορεί να ανήκουν σε τρεις τύπους. Τύπος 1: Μια πρόταση μπορεί να φαίνεται αντιφατική, ακόμα και παράλογη, αλλά στην πραγματικότητα είναι αληθής. Τύπος 2: Μια πρόταση που φαίνεται αληθής μπορεί στην πραγματικότητα να είναι αυτοαναιρούμενη και συνεπώς ψευδής. Αυτές είναι πλάνες που προκύπτουν από παραπλανητικά επιχειρήματα-διατυπώσεις. Τύπος 3: Μια πρόταση μπορεί να οδηγεί σε αντιφατικά συμπεράσματα. Αυτές οι προτάσεις είναι γνωστές ως αντινομίες.
Το παράδοξο Banach-Tarski ανήκει στην πρώτη κατηγορία και διατυπώνεται ως εξής: «Μια συμπαγής σφαίρα μπορεί να χωριστεί σε πεπερασμένο αριθμό κομματιών και να ανασυναρμολογηθεί με τέτοιο τρόπο ώστε να δημιουργήσει δύο συμπαγείς σφαίρες, καθεμιά ολόιδια σε σχήμα και όγκο με την αρχική.» Μια φαινομενικά απίστευτη πρόταση αποδεικνύεται κατασκευαστικά και αναλυτικά με χρήση επιμέρους αξιωμάτων και θεωρημάτων.
Ας το δούμε αναλυτικά: Τι είναι σημείο; Το σημείο είναι μια οντότητα στο χώρο που έχει θέση αλλά δεν έχει διάσταση. Το σημείο μπορεί να απεικονίσει έναν αριθμό (φυσικό, ρητό, πραγματικό) και δεν μπορεί να διασπαστεί. Ένα διάστημα είναι ένα σύνολο σημείων το οποίο έχει μέτρο αλλά δεν είναι ξεκάθαρο το πόσα σημεία έχει. Η πληθικότητα, πεπερασμένη ή άπειρη, μετράει το περιεχόμενο ενός συνόλου και όχι την έκτασή του. Τα διαστήματα [0,1], [0,2], (-∞, ∞) έχουν την ίδια πληθικότητα c (πληθικότητα των πραγματικών αριθμών) και γι’ αυτό θεωρείται ότι έχουν τον ίδιο αριθμό σημείων. Στις δύο διαστάσεις εύλογα θα αναρωτηθούμε αν υπάρχουν περισσότερα σημεία σε ένα επίπεδο απ’ ό,τι σε μια ευθεία ή γενικότερα πώς επηρεάζει η διάσταση ενός σημειοσυνόλου την πληθικότητα του σημειοσυνόλου. Την απάντηση δίνει το μέτρο Λεμπέγκ (μέτρο του χώρου που γενικεύει την έννοια του μήκους, του εμβαδού και του όγκου) ή απλά μέτρο ενός σημειοσυνόλου το οποίο ποσοτικοποιεί την έκταση του συνόλου. Έτσι λοιπόν μπορούμε να προσθέτουμε ή να αφαιρούμε σημεία από ένα κλειστό ή ανοιχτό διάστημα και το μέτρο του να παραμένει το ίδιο. Μπορούμε επίσης να επεκτείνουμε διαστήματα όπως επίσης και να διασπάσουμε ή να κατακερματίσουμε διαστήματα σε νέα ισοπληθικά διαστήματα ίσου μέτρου ως προς το αρχικό διάστημα. Στη συνέχεια με τη λογική της επέκτασης από το επίπεδο πλέον βρισκόμαστε στον τρισδιάστατο χώρο. Αποδεικνύεται ότι η επιφάνεια μιας σφαίρας που στερείται αριθμήσιμου πλήθους σημείων (τρύπες) είναι ισοδύναμη μέσω διάσπασης με την πλήρη σφαίρα. Συνεπώς οι όγκοι μπορούν να διπλασιασούν, να τετραπλασιαστούν και να μεγεθυνθούν σε οποιοδήποτε μέγεθος και σχήμα μέσω μιας μηχανικής διαδικασίας κατατμήσεων και συναρμολογήσεων.
Σε έναν κόσμο όπου η Ευκλείδεια γεωμετρία συναντά τη συνολοθεωρία του Cantor και έχοντας κατά νου ότι ένα σχήμα συνδέεται άμεσα με ένα σημειοσύνολο (μέσω απεικόνισης) μπορούμε ίσως να φανταστούμε ότι το παράδοξο Banach-Tarski δεν είναι τελικά κάτι νοητικά και διαισθητικά απροσπέλαστο.
Ο συγγραφέας σε αυτή τη δύσκολη απόδειξη δεν αφήνει περιθώρια για νοητικά άλματα. Όλα τα απαραίτητα εργαλεία αυτής της απόδειξης εξηγούνται αναλυτικά. Από την ισοπληθικότητα συνόλων, την υπόθεση του συνεχούς, το αξίωμα της επιλογής ως τις ισομετρίες και τις ισοδυναμίες κατάτμησης και διάσπασης ο συγγραφέας βρίσκει αφορμή να μας ξεναγήσει σε πολύπλοκες μαθηματικές έννοιες και στις ζωές των μαθηματικών που πρώτοι συνέλαβαν αυτές τις έννοιες. Μια ιστορία που ξεκινάει από την αρχαιότητα και ειδικότερα από τους έλληνες φιλοσόφους, όπως τον Αριστοτέλη, ο οποίος έθεσε τα θεμέλια της λογικής, τον Ζήνωνα, ο οποίος τον 4ο π.Χ. αιώνα ήταν ένας από τους πρώτους που έθεσαν σοβαρές ερωτήσεις για τις άπειρες διαδικασίες και τον Ευκλείδη, γνωστό και ως «πατέρα της γεωμετρίας», ο οποίος ενέπνευσε την αξιωματική μέθοδο των μοντέρνων μαθηματικών. Στη σύγχρονη εποχή ο συγγραφέας κάνει εκτενή αναφορά σε μαθηματικούς όπως ο Γκέντελ με το γνωστό θεώρημα της μη πληρότητας και στην εμμονή του με τα συνεπή συστήματα, στον Cantor και την υπερπεπερασμένη αριθμητική, στον Πολ Κοέν ο οποίος εφηύρε την τεχνική του εξαναγκασμού, όπου συγκεκριμένα μαθηματικά μοντέλα μπορούν να επεκταθούν με τέτοιο τρόπο ώστε μία δεδομένη πρότασή (ή η άρνηση αυτής) να γίνεται αληθής στο επεκτεταμένο μοντέλο, καθώς και σε άλλους μαθηματικούς όπως ο Μπάναχ και ο Τάρσκι οι οποίοι ήταν οι εμπνευστές της εν λόγω απόδειξης.
Ο κόσμος των μαθηματικών μπορεί να προσεγγιστεί από τρεις οπτικές γωνίες. Ο πλατωνισμός (ή μαθηματικός ρεαλισμός) δέχεται ότι τα μαθηματικά αντικείμενα υπάρχουν εκεί έξω ανεξάρτητα από το ανθρώπινο μυαλό, ανακαλύπτονται δηλαδή δεν δημιουργούνται. Η αντίθετη οπτική γωνία, γνωστή ως φορμαλισμός, δέχεται ότι τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα αποτελούμενη από σύμβολα και συμβάσεις για τον χειρισμό των συμβόλων αυτών έτσι ώστε όταν ακολουθούνται οι κανόνες αυτής της γλώσσας να παράγονται θεωρήματα, αποδείξεις κτλ. Αυτή όμως η θεώρηση αποκόβει τα μαθηματικά από τον πραγματικό κόσμο με τέτοιο τρόπο ώστε δεν μπορούμε να έχουμε μια διαισθητική άποψη για την αξία μιας απόδειξης. Μια τρίτη οπτική γωνία είναι αυτή του κονστρουκτιβιστή (ιντουισιονιστή, φινιτιστή) που πιστεύει ότι μόνο τα μαθηματικά αντικείμενα τα οποία μπορούν να κατασκευαστούν με έναν πεπερασμένο τρόπο έχουν νόημα.
Το παράδοξο Banach-Tarski οι κονστρουκτιβιστές θα το απορρίψουν, εφόσον στα ενδιάμεσα στάδια της απόδειξης χρησιμοποιείται υπερπεπερασμένη αριθμητική. Οι φορμαλιστές θα την δεχτούν, γιατί η απόδειξη είναι κατασκευαστική, πλήρως τεκμηριωμένη με αξιώματα και θεωρήματα. Οι πλατωνιστές πάλι θα αναρωτηθούν: Τι σχέση έχει αυτή η απόδειξη με την πραγματικότητα; Σε αυτό το σημείο ο συγγραφέας μας δίνει παραδείγματα από τη φυσική, τη χημεία και την κοσμολογία με πιο χαρακτηριστικό ίσως παράδειγμα το πληθωριστικό σύμπαν, όπως περιγράφεται από τη θεωρία της Μεγάλης Έκρηξης, όπου τα πάντα προκύπτουν από το τίποτα.
Ανεξάρτητα όμως από την οπτική γωνία που βλέπετε τα μαθηματικά το «Μπιζέλι και ο Ήλιος» είναι ένα βιβλίο που θα σας παρασύρει στον κόσμο των μαθηματικών και της φιλοσοφίας τους: ένα κόσμο όμορφο, κομψό, δομημένο, καλλιτεχνικό, θαυμαστό!
INFO: Leonard M.Wapner, Το μπιζέλι και ο ήλιος, μετάφραση: Γ.Κανακούδης, εκδόσεις Vesta
