Ο Αχιλλέας είχε προσπεράσει τη Χελώνα, και είχε καθίσει άνετα πάνω στη ράχη της.
«Λοιπόν έφτασες στο τέλος του αγώνα-δρόμου μας;» είπε η Χελώνα. «Αν και αποτελείται από άπειρη σειρά αποστάσεων; Νόμιζα πως κάποιος ξερόλας ή κάποιος άλλος είχε αποδείξει πως αυτό το πράγμα δεν μπορούσε να γίνει;»[2]
«Μπορεί να γίνει,» είπε ο Αχιλλέας. Έχει γίνει! Solvitur ambulando.[3] Βλέπεις οι αποστάσεις μειώνονταν συνεχώς· και έτσι …»
«Αλλά αν αυξάνονταν συνεχώς;» διέκοψε η Χελώνα «Τότε τι;»
«Τότε δεν θα ήμουνα εδώ,» απάντησε σεμνά ο Αχιλλέας· «κι εσύ θα είχες κάνει το γύρο του κόσμου πολλές φορές, μέχρι τώρα!»
«Με κολακεύεις … με ισοπεδώνεις,[4] εννοώ» είπε η χελώνα· «γιατί εσύ είσαι βαρέων βαρών, χωρίς αμφιβολία! Λοιπόν τώρα, θα ήθελες ν’ ακούσεις για έναν αγώνα δρόμου, στον οποίο οι περισσότεροι άνθρωποι φαντάζονται πως μπορεί να τερματίσουν με δύο ή τρία βήματα, ενώ στην πραγματικότητα αποτελείται από άπειρο αριθμό διαστημάτων, το καθένα μεγαλύτερο από το προηγούμενο;»
«Πολύ θα το ήθελα!» είπε ο Έλληνας πολεμιστής, καθώς έβγαλε από το κράνος του (λίγοι Έλληνες πολεμιστές είχαν τσέπες εκείνον τον καιρό) ένα τεράστιο σημειωματάριο και μολύβι. «Προχώρα! Και μίλα αργά, παρακαλώ! Η στενογραφία δεν έχει εφευρεθεί ακόμη!»
«Εκείνη η θαυμάσια Πρώτη Πρόταση του Ευκλείδη!» μουρμούρισε ονειροπόλα η Χελώνα. «Θαυμάζεις τον Ευκλείδη;»
«Παράφορα! Μέχρι τώρα, τουλάχιστον, όπως μπορεί κάποιος να θαυμάζει μια πραγματεία, που δεν θα δημοσιεύσει πριν περάσουν κάμποσοι αιώνες ακόμη!»
«Ωραία, λοιπόν, ας πάρουμε ένα μικρό κομμάτι από τον συλλογισμό σε εκείνο το Πρώτο Θεώρημα, ακριβώς δυο βήματα, και το συμπέρασμα που προκύπτει από αυτά. Αν έχεις την καλοσύνη γράψε τα στο σημειωματάριό σου. Και για να αναφερόμαστε σε αυτά με ευκολία, ας τα ονομάσουμε Α, Β, και Ζ:
« (Α) Πράγματα που είναι ίσα με το ίδιο πράγμα είναι και μεταξύ τους ίσα.[5]
« (Β) Οι δύο πλευρές αυτού του Τριγώνου είναι πράγματα ίσα προς το ίδιο πράγμα.
« (Ζ) Οι δύο πλευρές αυτού του Τριγώνου είναι ίσες μεταξύ τους.
« Οι αναγνώστες του Ευκλείδη θα παραδεχθούν, υποθέτω, πως το Ζ ακολουθεί λογικά το Α και Β, ούτως ώστε οποιοσδήποτε αποδέχεται τα Α και Β ως αληθή, είναι υποχρεωμένος να αποδεχθεί και Ζ ως αληθές;»
«Αναμφιβόλως! Το πιο μικρό παιδί στο Γυμνάσιο — μόλις επινοηθούν τα Γυμνάσια, πράγμα που δεν θα συμβεί παρά δυο χιλιάδες χρόνια αργότερα — θα το παραδεχτεί.» «Καμία αμφιβολία, πως ένας τέτοιος αναγνώστης πιθανόν να υπάρχει. Αυτός ίσως λέει “αποδέχομαι ως αληθή την Υποθετική Πρόταση ότι, εάν Α και Β είναι αληθή, το Ζ πρέπει να είναι αληθές· αλλά, δεν αποδέχομαι τα Α και Β ως αληθή.” Ένας τέτοιος αναγνώστης θα έκανε καλά να εγκαταλείψει τον Ευκλείδη, και να στραφεί στο ποδόσφαιρο.»
«Κι αν κάποιος αναγνώστης δεν είχε ακόμη αποδεχθεί τα Α και Β ως αληθή, θα μπορούσε, εν τούτοις, να αποδεχτεί την Ακολουθία ως έγκυρη, υποθέτω;»
«Και δεν θα μπορούσε να υπάρξει, επίσης, ένας αναγνώστης που θα έλεγε “αποδέχομαι τα Α και Β ως αληθή, αλλά δεν αποδέχομαι την Υπόθεση”;» (Σ.τ.Μ. «Εάν Α Τότε Β»)
«Βεβαίως θα μπορούσε. Αυτός επίσης καλύτερα να στραφεί στο ποδόσφαιρο.»
«Και κανείς από αυτούς τους αναγνώστες,» συνέχισε η Χελώνα, «δεν είναι υποχρεωμένος μέχρι τώρα κάτω από οποιαδήποτε λογική αναγκαιότητα να αποδεχτεί το Ζ ως αληθές;»
«Ακριβώς έτσι,» συναίνεσε ο Αχιλλέας.
«Λοιπόν, τώρα, θέλω να θεωρήσεις εμένα ως αναγνώστρια της δεύτερης περίπτωσης, και να με αναγκάσεις, λογικά, να αποδεχτώ το Ζ ως αληθές.»
«Μια χελώνα που παίζει ποδόσφαιρο θα ήταν…» άρχισε ο Αχιλλέας
«… φυσικά, μια ανωμαλία,» διέκοψε η χελώνα βιαστικά. «Μην απομακρύνεσαι από το θέμα. Ας έχουμε το Ζ πρώτα, και ύστερα το ποδόσφαιρο!»
«Πρόκειται να σε αναγκάσω να αποδεχτείς το Ζ, δεν είναι έτσι;» είπε ο Αχιλλέας στοχαστικά. «Και η τρέχουσα θέση σου είναι πως αποδέχεσαι το Α και Β, αλλά δεν αποδέχεσαι την Υπόθεση …»
«Ας την ονομάσουμε Γ,» είπε η Χελώνα
«… αλλά εσύ δεν αποδέχεσαι:
(Γ) εάν Α και Β είναι αληθή, τότε το Ζ πρέπει να είναι αληθές.»
«Αυτή είναι η τρέχουσα θέση μου,» είπε η Χελώνα.
«Τότε πρέπει να σου ζητήσω να αποδεχτείς το Γ.»
«Θα το κάνω,» είπε η Χελώνα, «μόλις το σημειώσεις σε εκείνο το σημειωματάριό σου. Τι άλλο έχεις εκεί μέσα;»
«Μόνο μερικές σημειώσεις,» είπε ο Αχιλλέας, νευρικά. αναρριπίζοντας τα φύλλα. «μερικές σημειώσεις για … για τις μάχες στις οποίες διακρίθηκα!»
«Πολλά άδεια φύλλα, βλέπω!» παρατήρησε εύθυμα η Χελώνα. «Θα τις χρειαστούμε όλες!» (ο Αχιλλέας ανατρίχιασε.) «Τώρα γράφε όπως υπαγορεύω:
(Α) Τα ίσα προς τρίτο είναι και μεταξύ τους ίσα.
(Β) Οι δύο πλευρές αυτού του Τριγώνου είναι ίσες προς τρίτη.
(Γ) Eαν Α και Β είναι αληθή, το Ζ πρέπει να είναι αληθές
(Ζ) Οι δύο πλευρές αυτού του Τριγώνου είναι ίσες μεταξύ τους.
«Αυτό έπρεπε να το ονομάσεις Δ, όχι Ζ,» είπε ο Αχιλλέας. «Έρχεται μετά τα άλλα τρία. Αν αποδέχεσαι τα Α και Β και Γ, πρέπει να αποδεχτείς το Ζ.»
«Και γιατί πρέπει;»
«Γιατί προκύπτει λογικά από αυτά. Εάν Α και Β και Γ είναι αληθή, το Ζ πρέπει να είναι αληθές. Δεν το αμφισβητείς αυτό, φαντάζομαι;»
«Εάν Α και Β και Γ είναι αληθή, το Ζ πρέπει να είναι αληθές,» επανέλαβε στοχαστικά η Χελώνα. «Αυτή είναι μια άλλη Υπόθεση, δεν είναι; Και, εάν δεν απέτυχα να δω την αλήθεια της, μπορώ να δεχτώ το Α και Β και Γ, και πάλι να μην αποδέχομαι το Ζ. Δεν θα μπορούσα;»
« Θα μπορούσες,» παραδέχτηκε ο ντόμπρος ήρωας· «αν και τέτοια αμβλύνοια σίγουρα θα ήταν φαινόμενο. Εν τούτοις, ένα τέτοιο συμβάν είναι δυνατό. Έτσι πρέπει να σου ζητήσω να παραδεχτείς μια επί πλέον Υπόθεση!»
« Πολύ καλά. Είμαι εντελώς πρόθυμη να την αποδεχτώ, μόλις την καταγράψεις. Θα την ονομάσουμε
« (Δ) Εάν Α και Β και Γ είναι αληθή, τότε το Δ πρέπει να είναι αληθές.
« Το έχεις γράψει αυτό στο σημειωματάριό σου;»
«Το έχω!» αναφώνησε χαρούμενα ο Αχιλλέας, καθώς έβαζε το μολύβι στη θήκη του. «και επί τέλους φτάσαμε στο τέλος αυτού του ιδανικού αγώνα ταχύτητας! Τώρα που αποδέχεσαι τα Α και Β και Γ και Δ, φυσικά αποδέχεσαι το Ζ.»
«Ναι;» είπε αθώα η Χελώνα. «Ας το ξεκαθαρίσουμε εντελώς. Αποδέχομαι τα Α και Β και Γ και Δ. Υπόθεσε, όμως, πως ακόμη αρνούμαι να αποδεχτώ το Ζ;»
«Τότε η Λογική θα σε άρπαζε από τον λαιμό, και θα σε υποχρέωνε να το κάνεις!» αποκρίθηκε θριαμβευτικά ο Αχιλλέας. «Η Λογική θα σου έλεγε: “Δεν μπορείς να το αρνηθείς. Εφ’ όσον έχεις αποδεχτεί Α και Β και Γ και Δ, είσαι υποχρεωμένη να αποδεχτείς το Ζ!” Δεν έχεις, βλέπεις, άλλη επιλογή.»
«Ό,τιδήποτε η Λογική είναι αρκετά ικανή να μου πει αξίζει να καταγραφεί,» είπε η Χελώνα. «Γράψε το λοιπόν στο βιβλίο σου, παρακαλώ. Θα το πούμε:
(Ε) Εάν Α και Β και Γ και Δ είναι αληθή, τότε το Ζ πρέπει να είναι αληθές. Μέχρι να παραδεχτώ αυτό, φυσικά δεν χρειάζεται να αποδεχτώ το Ζ. Είναι απολύτως αναγκαίο βήμα, καταλαβαίνεις;»
«Καταλαβαίνω,» είπε ο Αχιλλέας· και υπήρχε μια χροιά λύπης στον τόνο του.
Εδώ ο αφηγητής, έχοντας μια επείγουσα δουλειά στην Τράπεζα, ήταν υποχρεωμένος να αφήσει το ευτυχισμένο ζευγάρι, και δεν ξαναπέρασε από εκείνο το μέρος, παρά μερικούς μήνες αργότερα. Όταν ξαναπέρασε, ο Αχιλλέας ακόμη καθόταν στη ράχη της πολύ υπομονετικής Χελώνας, και έγραφε στο σημειωματάριό του, που φαινόταν να είναι σχεδόν γεμάτο. Η Χελώνα έλεγε, «Έχεις καταγράψει αυτό το τελευταίο βήμα; Εκτός αν έχω χάσει τον λογαριασμό, μας κάνει χίλια και ένα. Έρχονται πολλά εκατομμύρια ακόμη. Και θα σε πείραζε, σαν προσωπική χάρη στο ζητώ, να σκεφτείς πόσο πολλά θα δίδασκε αυτή η συζήτησή μας στους Λογικολόγους του δέκατου ένατου αιώνα … θα σε πείραζε να υιοθετήσεις ένα λογοπαίγνιο όπου η ξαδέρφη μου η Ψευτοχελώνα[6] θα κάνει τότε, και να επιτρέψεις στον εαυτό σου να ξανά-ονομαστεί «ΧελωνομάθεΜας;[7]»
«Όπως επιθυμείς!» αποκρίθηκε ο αποκαμωμένος πολεμιστής, με σπηλαιώδη τόνο απελπισίας, καθώς έθαβε το πρόσωπό του στα χέρια του. «Με την προϋπόθεση, πως κι’ εσύ, από τη μεριά σου, θα υιοθετήσεις ένα λογοπαίγνιο που η Ψευτοχελώνα ποτέ δεν έκανε, και θα επιτρέψεις στον εαυτό σου να ξανά-ονομαστεί Αχιλλεοσκοτώστρα![8]»
Ο «τρόπος του θέτειν (Modus Ponens)», στον υποθετικό συλλογισμό, και η Αχίλλειος πτέρνα της Χελώνας. Ελευθέριος Ανευλαβής.
Ο υποθετικός συλλογισμός είναι όμοιος, όπως καταδεικνύεται από την δομή του, προς τον κατηγορικό συλλογισμό, από τον οποίο όμως διαφέρει ως αποδεικτική μέθοδος.
Ενώ στον κατηγορικό συλλογισμό: «Υ είναι Κ», ο σκοπός είναι να αποδειχθεί ότι: το Κ (κατηγορούμενο) κατηγορείται ή όχι στο Υ (υποκείμενο),
Στον υποθετικό συλλογισμό: «Εάν Α τότε Β»[9], σκοπός είναι να αποδειχθεί ότι οι προτάσεις-κρίσεις, που διατυπώνονται με αυτήν την μορφή, έχουν μεταξύ τους την σχέση: Λόγος-Ακολουθία, οπότε, Τότε, από την αλήθεια ή το ψεύδος της μίας καθίσταται υποχρεωτική η αλήθεια ή το ψεύδος της άλλης.
Σε κάθε υποθετικό συλλογισμό δίδεται ο Λόγος και έπεται η Ακολουθία. Εάν Α (λόγος ) Τότε (έπεται) Β (ακολουθία), η οποία αληθεύει, διότι αληθεύει ο λόγος.
Ο υποθετικός συλλογισμός είναι είδος παραγωγικού συλλογισμού (εκ του όλου συμπεραίνεται το μέρος), ο οποίος εκφράζει μιαν απόφανση υπό όρους.[10]
Οποτεδήποτε από τα εμπειρικά δεδομένα (δεδομένα των αισθήσεων) σχηματίζονται γνωστικές παραστάσεις λειτουργεί η κρίση η οποία και τις σχηματίζει. Το πρώτο που γίνεται είναι να συγκριθεί αυτό που προσλαμβάνεται δια των αισθήσεων, με ήδη υπάρχουσα ομοειδή παράσταση και, εφόσον (Εάν) θεωρηθεί όμοιο, στη συνέχεια, (Τότε), του αποδίδεται η κατηγορική του μορφή, η οποία και το αντικειμενοποιεί.
Δηλαδή, δια της Υποθέσεως «Εάν Α Τότε Β», υπό το φως νέας πληροφορίας, που παρέχει το πείραμα-διαπίστωση, ότι: «Είναι Α», είμαστε υποχρεωμένοι να αποδεχθούμε το συμπέρασμα ότι: «είναι Β»,[11] βάσει της αρχής του αποχρώντος λόγου, η οποία ορίζει, ότι ο,τιδήποτε, για να γίνει αποδεκτό από την έλλογη νόηση, πρέπει να έχει τον λόγο του. «Εισίν εκάστω των όντων λόγοι».[12] Είναι. λογικά, αδύνατο να είναι και να μην είναι.
Εδώ σταματάει η έρευνα, διότι η σκέψη, τώρα, «αισθάνεται» ασφαλής, εφ’ όσον η απόφανση-κρίση, βασισμένη στο θεμελιώδες αξίωμα της νοήσεως, την αρχή του αποχρώντος λόγου, έχει αποκτήσει, τώρα, καθολικό και αναγκαστικό για την νόηση κύρος και επιβολή, αφού πρώτα ελέγχθηκε η αντιστοιχία ως προς την πραγματικότητα (αλήθεια), δια του πειράματος. Ας σημειωθεί ότι η Λογική μέθοδος δεν είναι και η πραγματικότητα του κόσμου τούτου. Εν τούτοις είναι το μόνο όργανο που διαθέτουμε για την πραγματικότητα, όποια κι αν είναι αυτή.
«Προσλαβόντα δε λόγον … και τελείως προς επιστήμην έχειν. …Τον γαρ μη δυνάμενον δούναι τε και δέξασθαι λόγον ανεπιστήμονα είναι» [13],45
- Όταν ο λόγος αληθεύει (τίθεται), πάντοτε αληθεύει (τίθεται) και η ακολουθία·
Η αλήθεια του λόγου συνεπάγεται και την αλήθεια (θέση) της ακολουθίας. Το γιατί είναι προφανές· η ακολουθία συναρτάται και εξαρτάται άμεσα από τον λόγο και επομένως εξ αληθούς λόγου, κατά λογικήν αναγκαιότητα, μόνον αληθής ακολουθία μπορεί να προκύψει.
- Όταν η ακολουθία ψεύδεται (αίρεται), πάντοτε ψεύδεται (αίρεται) και ο λόγος·
Εάν αποδειχθεί (αναμφισβήτητα) ότι η ακολουθία ψεύδεται, δεν μπορεί να είναι αληθής ο λόγος εκ του οποίου προέκυψε.
- Όταν ψεύδεται (αίρεται) ο λόγος η ακολουθία ψεύδεται (αίρεται), όταν ο λόγος είναι μοναδικός.
Εάν ο λόγος δεν είναι μοναδικός το συμπέρασμα είναι επισφαλές. Έτσι για να διασφαλισθεί η εγκυρότητα της υποθετικής προτάσεως είναι απαραίτητη η αυστηρή διατύπωση του συλλογισμού με τον τύπο:
Εάν (και μόνον εάν) Α Τότε (και μόνον τότε) Β
Σε αυτό το σχήμα διατυπώνονται, στην αυστηρή γλώσσα της επιστημονικής ακρίβειας, οι υποθετικοί συλλογισμοί.
Τρόπος του θέτειν (modus ponens)
Τίθεται ο λόγος και άρα τιθεμένου του λόγου στην ελλάσονα (Α), γίνεται δεκτή ως αληθής η ακολουθία (Β) στο συμπέρασμα (Άρα Β) .
Εάν Α Τότε Β
Α
Άρα Β
Οι Σκεπτικοί, με το «Καίτοι θα αρκούσε να αντιτάξει κανείς σε αυτούς την ενάργεια για να θρυμματίσει την θέση και την σιγουριά τους, μέσω της ισοδύναμης αντίθετης μαρτυρίας των φαινομένων: Καίτοι γε αρκούντως ίσως του και την ενάργειαν αυτοίς αντιτιθέναι προς το θραύεσθαι στην διαβεβαιωτικήν θέσιν αυτών δια της εκ των φαινομένων ισοσθενούς αυτών αντιμαρτυρήσεως»[14], προκαλούν την έπαρση των δογματικών, οι οποίοι θέλουν ως αποδεικτικό λόγο, τον λόγο αυτόν που πάντα και μόνον είναι πιθανός.
Με την αναγέννηση, και αφού για μια χιλιετία κυριάρχησε η αυθεντία του Αριστοτέλη, η νεότερη λογική, πάνω στον κυματοθραύστη των σκεπτικών, αντιμετωπίζει την «ύβρι» του δογματικού λόγου, με την διαπίστωση ότι δεν έχει καμιά βεβαιότητα. Οι αληθείς λόγοι, φωτισμένοι από την λάμψη των σκεπτικών, καθίστανται «εικότες» λόγοι. Η ρήση «τα πάντα προς τι» ( τα πάντα σχετικά) είναι η βαθειά γνώση, που προέρχεται από την σκεπτική σκέψη. Και ακολουθούν:
Οι εμπειριστές και το πρόβλημα της επαγωγής με πρωτοπόρο και αρχηγέτη του νεότερου εμπειρισμού τον Βάκωνα (Francis Bacon)
Οι ιδρυτές της μαθηματικής ή συμβολικής λογικής : George Bool , Leibniz, Hamilton
Και η μνημειώδης τρίτομη πραγματεία «Principia Mathematica» των Russell και Whitehead, για την μαθηματικοποίηση της λογικής και εξάλειψη της ασάφειας που προκαλείται από την χρήση της φυσικής γλώσσας.
Τέλος εμφανίζεται ο Kürt Gödel, ο οποίος, με την αρχή της «λογικής μη πληρότητας (logic incompleteness)[15] και του αδύνατου να αποφασισθεί η αλήθεια, το αυταπόδεικτο των αξιωμάτων (undecidableness), [16] θέτει βόμβα στα θεμέλια της βεβαιότητάς μας, δηλαδή στα τυπικά μαθηματικά συστήματα, θυμίζοντας και πάλι τους σκεπτικούς.
Για κάθε συνεπές τυπικό σύστημα Μ, υπάρχει τουλάχιστον μία πρόταση G η οποία δεν μπορεί να αποδειχθεί αληθής ή ψευδής. Η πρόταση G καλείται μη αποφασίσιμη (undecidable) στο σύστημα Μ. Η αλήθεια είναι μεγαλύτερη από την απόδειξη. «και ποιος έχει ποτέ πει το αντίθετο;» σχολίασε ο φιλόσοφος Austin.[17]
Με άλλα λόγια, με τη λογική παραγωγή στην αποδεικτική της μορφή (μαθηματική απόδειξη) δεν μπορεί να γνωσθεί κάθε τι που είναι αληθές. Δηλαδή, υπάρχουν μαθηματικές προτάσεις που θεωρούνται αληθείς, αλλά είναι αδύνατον να αποδειχθούν και ως τέτοιες. Ουσιαστικά, δεν ξέρουμε για τι πράγμα μιλάμε, ούτε εάν αυτό που λέμε είναι αληθές
Η αχίλλειος πτέρνα της Χελώνας.
Έστω ένας, προφανώς έγκυρος, συμπερασμός: «Τότε Β», τις προκείμενες του οποίου δέχεσθε ως αληθείς:
Εάν Α Τότε Β
Α
Άρα Β
(Τρόπος του θέτειν (modus ponent)
Υποθέστε, επί πλέον, πως η εγκυρότητα αυτού του συμπερασμού είναι κάτι με το οποίο συμφωνείτε, με άλλα λόγια πείθεσθε να αποδεχθείτε την αλήθεια ότι «Άρα Β» Υπάρχει οποιοσδήποτε τρόπος που να σας υποχρεώνει, λογικά, να μην παραδεχθείτε την αλήθεια του Β;
Η Χελώνα επιμένει πως δεν υπάρχει..
Μπορούμε, φυσικά, να απευθυνθούμε στην απείθαρχη λογικά Χελώνα, και να της υποδείξουμε ότι: Δεδομένου ότι αυτή αποδέχεται την αλήθεια του «Α» και του «Α Τότε Β», είναι υποχρεωμένη να αποδεχτεί και το Β. Υποχρεούται, διότι:
«Εάν Α» ΚΑΙ «Εάν Α Τότε Β», ΤΟΤΕ ( συνεπάγεται) Β,
είναι μια Λογική Σύζευξη, η οποία στην συμβολική λογική έχει το τύπο: p ∩ q,
όπου p, q, είναι προτάσεις και το σύμβολο σύμβολο ∩ είναι το συνδετικό ΚΑΙ, το οποίο βεβαιώνει την σχέση αληθείας μεταξύ των επιμέρους προτάσεων και της σύνθετης συνολικής πρότασης.
Οι προτάσεις p, q μπορεί να είναι οποιεσδήποτε προτάσεις και κάθε μια μπορεί να είναι αληθής (Α) ή Ψευδής (Ψ).
Η Σύζευξη αληθεύει όταν, και μόνον όταν, και οι δύο προτάσεις είναι αληθείς. Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις (μία εξ αυτών ψευδής ή και οι δύο ψευδείς). η Σύζευξη ψεύδεται. Τα ενδεχόμενα αληθείας και ψεύδους της Σύζευξης απεικονίζονται στον Πίνακα, ο οποίος καλείται «πίνακας αληθείας»
| Πίνακας αληθείας συζευκτικών προτάσεων | |||
| p | q | p ∩ q | |
|
|
|||
| Aληθές | Aληθές | Aληθές | |
| Ψευδές | Αληθές | Ψευδές | |
| Αληθές | Ψευδές | Ψευδές | |
| Ψευδές | Ψευδές | Ψευδές | |
Αλλά η Χελώνα, παραμένει αμετάπιστη. Αν και αμέσως αποδέχεται την αλήθεια του «Α» (p) Και «Α συνεπάγεται Β» (p∩q), δεν αναγνωρίζει πώς αυτή η αλληλουχία την υποχρεώνει να δεχθεί το «Β» (q).
O Αχιλλέας ζητά από την Χελώνα ότι πρέπει να παραδεχτεί πως, Εάν δέχεται «Α», Και «Α συνεπάγεται Β», είναι υποχρεωμένη να δεχτεί το «Β», λόγω, ακριβώς, της προφανούς αληθείας των προκειμένων: «Α» Και «Α συνεπάγεται Β» (σύμφωνα με τον πίνακα αληθείας των συζευκτικών προτάσεων (βλ. Πίνακα):
Όμως η Χελώνα, παρ’ όλο που αποδέχεται την τελευταία αναγκαστική πρόταση και βεβαιώνει την εμπιστοσύνη της στην αλήθεια των προκειμένων, δεν αντιλαμβάνεται, ακόμη, γιατί πρέπει να αποδεχθεί το «Β». Και αυτό το κάνει συνεχώς, προκαλώντας μας να συμπεράνουμε πως ο υποθετικο-παραγωγικός συλλογισμός είναι λογικά ανεκπλήρωτος.
Κατά κάποιον τρόπο η Χελώνα έχει δίκιο, να επιμένει πως δεν μπορεί να υποχρεωθεί, με την λογική, να μην αρνείται την αλήθεια του Β. «Τα έχει στυλώσει», κατά το κοινώς λεγόμενο. Η καλύτερα για την περίπτωση της Χελώνας, «έχει χελωνώσει». Οι άνθρωποι, σαν τις Χελώνες, συχνά παραμένουν αμετάπειστοι με τα λογικά επιχειρήματα. «Ου με πείσεις καν με πείσης»
Όμως η χελώνα είναι εντελώς λάθος, αν εκλάβουμε ότι εννοεί, πως μπορεί συνεχώς να επιμένει στη απόρριψή του «Β». Αποδεχόμενη το «Α» ΚΑΙ το «Α συνεπάγεται Β» και, ταυτοχρόνως, απορρίπτοντας το «Β», αρνείται τον «Τρόπο του Θέτειν» του υποθετικού συλλογισμού, αρνούμενη να συμπεράνει το «Β», ένώ αμέσως στο επόμενο, δέχεται την αλήθεια του «Α» και «Α τότε Β», και «Β»
Ο Αχιλλέας διαπράττει σφάλμα, εν μέρει λογικό, και εν μέρει τακτικής, αφ’ ενός, με το να σημειώσει την αντίφαση της Χελώνας, ως λογική πρόταση, στο σημειωματάριό του, αφ’ ετέρου, με το να βομβαρδίζει τη Χελώνα με επανειλημμένες και αχρείαστες παραλλαγές, ακριβώς της ίδιας επιχειρηματολογίας, που η Χελώνα εξ αρχής απορρίπτει.
Αν συνειδητοποιούσε, πως η αποδοχή του «τρόπου του θέτειν», από την Χελώνα, είναι φενάκη, και ότι στην πραγματικότητα η Χελώνα, την ίδια στιγμή, απορρίπτει και αποδέχεται τον «τρόπο του θέτειν», αφού τον δέχεται ως αληθή στην προκείμενη και τον απορρίπτει στο συμπέρασμα, που προκύπτει, λογικά, από την εφαρμογή του. Αν ο Αχιλλέας το είχε δει αυτό, θα μπορούσε να εξαποστείλει τη Χελώνα για ποδόσφαιρο, συλλαμβάνοντάς την εντελώς ασυνεπή.
Δεδομένου ότι η Χελώνα αρνείται να συμμορφωθεί με τον κανόνα του συμπερασμού, που η ίδια, αντιφάσκουσα, λέει ότι αποδέχεται, είναι άχρηστο να την αντιμάχεται ο Αχιλλέας, με μια ατέλειωτη σειρά περιπτώσεων της ίδια αρχής.
«Μ’ αυτόν που διαφωνείς η συζήτηση είναι αδύνατη.» (Παναγιώτης Κονδύλης)
info: Lewis Carroll. «What the Tortoise Said to Achilles» Mind[1] 4, No. 14 (April 1895): 278-280. Λιούις Κάρρολ. Τι είπε η Χελώνα στον Αχιλλέα.Μετάφραση: Ελευθέριος Ανευλαβής.
[1] Mind: Βρετανικό περιοδικό φιλοσοφίας. Ιδρύθηκε από τον Σκώτο καθηγητή Alexander Bain το 1876
[2] Αναφέρεται στο γνωστό παράδοξο του Ζήνωνος
[3] Λατινικά: «λύθηκε με το βάδισμα». Η εμπειρική διάψευση του λεγομένου. Λέγεται, ότι ο Διογένης, σε απάντηση του παράδοξου του Ζήνωνος, πως η κίνηση είναι αδύνατη, απλώς, σηκώθηκε και περπάτησε.
[4] O Λιούις Κάρρολ λογοπαίζει με τις αγγλικές λέξεις: Flatter, flatten: Κολακεύω και ισοπεδώνω.
[5] «Τα τω αυτώ ίσα και αλλήλοις εστίν ίσα» Ευκλείδου Στοιχεία. Βιβλίο Ι. Κοιναί Έννοιαι α΄
[6] THE MOCK TURTLE’S STORY, στο, Lewis Carroll «Alice’s Adeventures in Wonderland and Through the Looking-Glasss» MACMILLΑN , London – Melbourne – Toronto, ST MARTIN’S PRESS, New York 1971 (Κεφαλαιο ΙΧ, σελ. 93-102.
«Τότε η Βασίλισσα… είπε στην Αλίκη: “Δεν έχεις δει ακόμα την Ψευτοχελώνα”»
«Όχι» είπε η Αλίκη. Δεν ξέρω καν τι είναι η Ψευτοχελώνα» … «Έλα τότε» είπε η Βασίλισσα «κι αυτή θα σου πει την ιστορία της.» Από το βιβλίο: «Η Αλίκη στη Χώρα των Θαυμάτων και Μέσα απ’ τον Καθρέφτη.» Μετάφραση Παυλίνα Παμπούδη. Εκδόσεις PRINTA, Αθήνα 2009 (σελ. 114)
[7] Taught-Us < Turtle: αγγλ. χελώνα + Taught-Us: αγγλ. μάθε Μας.
[8] A Kill-Ease < A kill < Achilles: αγγλ. Αχιλλεύς + kill: αγγλ, σκοτώνω. Αχιλλεοσκοτώστρα + (ease: εύκολα, συνων. ακούραστα, οπότε και: Αχιλλοακουραστοσκοτώστρα. Προτίμησα την πρώτη απόδοση)
[9] Το Α και το Β εδώ είναι προτάσεις-κρίσεις και όχι λέξεις-έννοιες όπως τα Υ, Κ του κατηγορικού συλλαγισμού
[10] Παπανούτσου Ε. Λογική. Εκδόσεις Δωδώνη.1970 (σελ. 93-105)
[11] Barwise J. The Situation in Logic. Center for the Study of Language and Information. 1989 (σελ.95-135)
[12] Πλάτων. Ευθύδημος 285ε. Στο: A.E.Taylor: Πλάτων. Ο Άνθρωπος και το ‘Eργο του. Μετάφραση Ιορδάνης Αρζόγλου. ΜΙΕΤ (Β Έκδοση); 1992:123-137
[13] «Όταν όμως προσλάβει τον λόγο (σ.σ. Δώσει τον λόγο ή την αιτία ) η σχέση του με την επιστήμη είναι τέλεια. Γιατί όποιος δεν μπορεί να δώσει και να δεχθεί λόγο είναι ανεπιστήμων (έχει άγνοια)».
[14] Σέξτου εμπειρικού. Πυρρώνειοι υποτυπώσεις. ΙΙ 244
[15] Dawson JM Jr. The reception of Godel’s incompleteness theorems. In: Godels Theorem in Focus. Edited by S.G.Shanker. Routledge. 1988:74-95
[16] Godel Curt. On formally undecidable proposition of principia mathematica and related systems I. In: Godels Theorem in Focus. Edited by S.G.Shanker. Routledge 1988:17-47
[17] Casti JL, DePauli W. Gödel. A life in logic. Perseus Publishing , Cambridge, Massachusetts. 2000:5
Ελευθερίου Ανευλαβή
Η Λογοτεχνία της Ανοησίας.
Ανεννόητη, εν τούτοις νοητή.
Το 1846, ο Εδουάρδος Ληρ (Edward Leer), ζωγράφος τοπίων, εκδίδει στην Αγγλία βιβλίο με στίχους και εικόνες για παιδιά, με τίτλο: «Ένα βιβλίο ανοησίας: Α Βook of Νonsense», και δημιουργεί ένα νέο είδος λογοτεχνίας: τη Λογοτεχνία της Ανοησίας (Literature of Nonsense, ή Nonsense Literature).
«Ο ανθρώπινος εγκέφαλος μπορεί να παράγει οποιαδήποτε σκέψη. Και ανόητη. Γιατί όλα τα είδη σκέψης και οι ασυνήθιστες, αποκλίνουσες, ανώμαλες, μη κανονικές αποτελούνται στον πυρήνα τους από κομμάτια πεποιθήσεων ή γνώσης, δηλαδή οποιαδήποτε παράξενη αλλόκοτη περιελιγμένη μαιανδρική σκέψη κατακερματίζεται σε έναν αριθμό μη παράξενης, μη αλλόκοτης, ευθείας μη-μαιναδρικής τεντωμένης συμβολικά, αντιπροσωπεύοντας απλές σκέψεις που μπορεί εκφράζουν πεποιθήσεις και κομμάτια γνώσης αξιόπιστα.» [1]
Η «Λογοτεχνία της Ανοησίας» δεν είναι το αρνητικό της νόησης, ούτε, απλά, φέρνει στο προσκήνιο ασυνέπειες και παραλογισμούς. Όπως η «υποστασιακή ελευθερία […]» εισάγει και αυτή «το απροσδιόριστο σ’ ένα κόσμο προσδιορισμού […] Θραύει τον κύκλο αιτίου και αιτιατού και θέτει ολόκληρο το κόσμο σε κατάσταση εκκρεμότητας» [2]
Θέτει ως στόχο, να ανακαλύψει και να αναδείξει στο προσκήνιο την δυσαρμονία και ασυναρτησία όλων των πραγμάτων, μέσα μας και έξω από εμάς, αναδεικνύοντας μια καινούργια και βαθύτερη αρμονία της ζωής, μέσα από τις αντιφάσεις της, και δια μέσου αυτών.
«Στην πραγματικότητα, η λογοτεχνία της ανοησίας, σε αυτή τη χρήση της λέξης, αποδείχθηκε ότι είναι ένα αληθινό έργο της φαντασίας, ένα παιδί ιδιοφυΐας, και η γραφή της μια από τις Καλές Τέχνες» [3]
Για να δημιουργήσει «ανόητα» και ανεννόητα συνάμα, ακατανόητα αποτελέσματα, χρησιμοποιεί νεολογισμούς, portmanteau (γλωσσική μείξη λέξεων, όπου μέρη διαφορετικών λέξεων ή φωνήματα-ήχοι τους συνενώνονται σε μια καινούργια λέξη). νεολογισμούς, ανατροπές, αντιστροφές, ανακρίβειες, εσφαλμένη σχέση αιτίας-αποτελέσματος, ταυτοχρονία, ασυνέπεια εικόνας/κειμένου, αυθαιρεσία, άπειρη επανάληψη, κατοπτρισμό, και ταυτολογία.
«Τα μυστικά ωστόσο λουφάζουν σε δύσνοες άκρες» [4]
Η «Λογοτεχνική Ανοησία» είναι αποτελεσματική, λόγω του ότι ο άνθρωπος επιθυμεί να βρει νόημα παντού και σε κάθε τι, ακόμη και εκεί που δεν υπάρχει.
Εάν νόηση, σημαίνει νόημα, η «Λογοτεχνική Ανοησία», μπορεί να συμπεράνει κανείς, είναι όλα όσα δεν έχουν νόημα. Και όμως, η «Λογοτεχνία της Ανοησίας», έχει νόημα. Και το νόημά της είναι, ότι δεν έχει νόημα, αν την προσεγγίσει ο αναγνώστης με τους κανόνες της κοινής λογικής..
Είναι ένα σύστημα γλώσσας, τα στοιχεία του οποίου είναι στενά συνδεδεμένα με τη σύνταξη, την μορφολογία, και τη σημασιολογία της γλώσσας, στην οποία είναι γραμμένα.
Στο έργο του Λιούις Κάρρολ «Μες στον Καθρέφτη και τι Βρήκε η Αλίκη Εκεί» [5] ο Χάμπτυ Ντάμπτυ λέει:
«Όταν χρησιμοποιώ μια λέξη αυτή σημαίνει ακριβώς αυτό που επιλέγω να σημαίνει —ούτε περισσότερο ούτε λιγότερο»
Και στο σύστημα της «Λογοτεχνικής Ανοησίας», οι λέξεις σημαίνουν αυτό, που επιλέγει να σημαίνουν ο συγγραφέας της και παίρνουν αυτήν τη σημασία, αποκλίνοντας από την ανοησία καθ’ εαυτήν (με την καθημερινή έννοια), και αποκλίνοντας, επίσης, από ένα γνωστό υπάρχον γλωσσικό σύστημα.
Ένα σύστημα «λεξοσημείων», σημεία-λέξεις, που αποκτούν σημασία, με το να ενεργοποιούν συνεχώς τις διαφορές τους από τα σημεία άλλων συστημάτων, χαρακτηρίζει την «Λογοτεχνική Ανοησία»
Η προσπάθεια ανάγνωσης της «Λογοτεχνικής Ανοησίας», δια της αφαιρέσεως του συνεκτικού στοιχείου της αντιφατικότητας, και η αναγωγή της στην κοινή λογική, καταργεί την (ασταθή) ισορροπία του συστήματος, μεταβάλλοντάς το, «ώσπερ λίθοι τε και πλίνθοι και ξύλα και κέραμος ατάκτως ερριμμένα…», τα οποία, έτσι, φαίνονται ανόητα, έξω από το σύστημα εντός του οποίου είναι όντως νοητά.
Η σημασία, το μήνυμα της «Λογοτεχνικής Ανοησίας», εξαρτάται από το σύστημα το οποίο αυτή κατασκευάζει.
Το μήνυμα είναι γλωσσικό σημείο, δηλαδή «η ολότητα που προκύπτει από την σύνδεση (συσχέτιση) σημαίνοντος (ακουστική, οπτική εικόνα) και σημαινόμενου (έννοια, σημασία)» (Saussure). [6] Και η συσχέτιση αυτή είναι μια «σημειακή συνάρτηση, διά της οποίας προσδίδεται η σημασία στο μήνυμα».[7]
Όπως κάθε γλώσσα, και η γλώσσα της «Λογοτεχνικής Ανοησίας» είναι «ένα πρίσμα μέσα από το οποίο οι χρήστες της γλώσσας βλέπουν τον κόσμο»,[8] και επειδή «η γλώσσα μου είναι ο κόσμος μου»,[9] ο κόσμος, με την «Λογοτεχνία της Ανοησίας», παίρνει τόσες μορφές και σημασίες, όσες δίνουν οι άνθρωποι και οι γλώσσες που τη διαβάζουν. Γιατί «ο κόσμος, πρόσεξε, γράφει, έγραφε και θα γράφει τα δικά του ιερογλυφικά για πάντα, για κάθε άνθρωπο, για όλα τα πράγματα» (FW 19, ΑΤΦ 112) [10]
Δεν πρόκειται περί ασυναρτησίας, η οποία, αντιθέτως, δεν διαθέτει σύστημα. Ομοιάζει με τις καθαρές σχέσεις των μαθηματικών, όπου το «δέκα» παραμένει «δέκα», είτε μιλάμε για δέκα μήλα, δέκα άλογα, δέκα ανθρώπους.
«Βλέπετε πράγματα και λέτε “γιατί;”. Αλλά εγώ ονειρεύομαι πράγματα που ποτέ δεν ήταν και λέω “γιατί όχι;”» [11]
Η «Λογοτεχνική Ανοησία», επιτυγχάνει τα αποτελέσματά της, όχι με αντίθεση τάξης-αταξίας και σύγχυσης, αλλά αντιπαραθέτοντας ένα σύστημα τάξης σε ένα άλλο σύστημα τάξης, το καθένα από τα οποία είναι λογικό καθ’ εαυτό, αλλά κανένα τους δεν μπορεί να βρει μια θέση στο άλλο. Καθιστά κάποια οικεία δράση, ασυνήθη, περιγράφοντάς την απλοϊκά, αφελώς, σαν να γίνεται γνωστή για πρώτη φορά. Όπως ο πρώτος τροχός, το πρώτο άροτρο, η πρώτη ιπτάμενη μηχανή.
Το ασύνηθες γίνεται πάντοτε κατανοητό με όρους του συνήθους. Όμως, για να δούμε το καινούργιο, πρέπει να το αναγνωρίσουμε ως τέτοιο, και αυτό γίνεται με την ηθελημένη αναστολή γλωσσικών και αντιληπτικών συστημάτων, τα οποία έχουμε μάθει, πριν έλθουμε σε επαφή με το νέο, το καινούργιο. Αν δεν γίνει αυτό, δεν θα αναγνωριστεί το νέο ως τέτοιο, εφόσον οι προσδοκίες μας θα προέρχονται από τις λειτουργίες ενός άλλου συστήματος.
Το αποτέλεσμα της «Λογοτεχνικής Ανοησίας» προκαλείται από μια υπερβολή της σημασίας του νοήματος, παρά από την απουσία του.
Ο Kürt Gödel, με την αρχή της «λογικής μη πληρότητας: logic incompleteness, [12] και του αδύνατου να αποφασισθεί η αλήθεια, το αυταπόδεικτο των αξιωμάτων,[13] θέτει βόμβα στα θεμέλια της βεβαιότητάς μας, δηλαδή, στα τυπικά μαθηματικά συστήματα. Για κάθε συνεπές τυπικό σύστημα Μ, υπάρχει τουλάχιστον μία πρόταση G, η οποία δεν μπορεί να αποδειχθεί αληθής ή ψευδής. Η πρόταση G καλείται μη αποφασίσιμη (undecidable) στο σύστημα Μ.
Με άλλα λόγια, με τη λογική παραγωγή, στην αποδεικτική της μορφή (μαθηματική απόδειξη), δεν μπορεί να γνωσθεί κάθε τι που είναι αληθές. Δηλαδή, υπάρχουν μαθηματικές προτάσεις που θεωρούνται αληθείς, αλλά είναι αδύνατον να αποδειχθούν και ως τέτοιες.
Η αλήθεια είναι μεγαλύτερη από την απόδειξη.
Η «Λογοτεχνία της Ανοησίας», είναι αποτελεσματική, εξ αιτίας της ανθρώπινης επιθυμίας να βρει νόημα παντού, σε κάθε τι, ακόμη και εκεί που, μάλλον, δεν υπάρχει.
Η κάθε μια λέξη ξεχωριστά και όλες μαζί έχουν νόημα και διατάσσονται με γραμματικά ορθό τρόπο. Εν τούτοις, το τελικό αποτέλεσμα είναι ανεννόητο.
Η «Λογοτεχνική Ανοησία» ίσως εκφράζει τον αγώνα του ανθρώπου, ο οποίος παρατηρεί με μεγάλη προσοχή και κριτικά αυτά που βλέπει «αναθρών α όπωπε», [14] για νέους τρόπους έκφρασης της ζωής. Την αρχή μια νέας, φρέσκιας ιδέας, την νέα παιδική ηλικία ενός καινούργιου κόσμου. Την άγραφη πίστη του ανθρώπου, συνέχεια ν’ αναζητά αποδείξεις.
Η «ανθρώπινη κωμωδία», παίζεται με την προσπάθεια του ανθρώπου να μην είναι, ή μάλλον, να μην φαίνεται παράλογος. Και θα συνεχίζεται, χωρίς να υπάρχει τελευταία πράξη και αυλαία.
Η αξία της «Λογοτεχνικής Ανοησίας» έγκειται ακριβώς στην ματαιοπονία της. Αλλά δείχνοντας, φανερώνοντας το ανεννόητο των πραγμάτων, μπορεί να βοηθήσει να παραμείνουμε ενεργά νοήμονες, ελέγχοντας, πόσο συνεπή τελικά είναι τα πράγματα του κόσμου μας.[15]
Δεν αγνοεί τους κανόνες της λογικής, αλλά ανατρεπτικά παίζει μαζί τους.[16] Αυτή, η απλή αίσθηση του θαυμασμού για τα σχήματα των πραγμάτων και για την πληθωρική τους ανεξαρτησία από τα νοητικά μας πρότυπα και τους ασήμαντους ορισμούς μας, είναι η βάση της «Λογοτεχνίας της Ανοησίας.» [17]
Σε ένα ευρύτερο πλαίσιο, μπορεί να θεωρηθεί ως δύναμη για κοινωνική αλλαγή, γλωσσική εξερεύνηση, πολιτική σάτιρα, θρησκευτική έκφραση και φιλοσοφική έρευνα.
Στην «Λογοτεχνική Ανοησία» και στα «Θαύματα της θρησκευτικής πίστης» εμφανίζονται οι δύο υπέρτατοι συμβολικοί ισχυρισμοί της αλήθειας. Με την λογική είναι αδύνατο να προσεγγίσει κανείς και την «Λογοτεχνική ανοησία» Και την «θρησκευτική πίστη» [18]
Ο άνθρωπος που, μελετώντας απλώς τη λογική πλευρά των πραγμάτων, έχει αποφασίσει ότι «η πίστη είναι ανοησία», αργότερα μπορεί να επανέλθει σε αυτόν τον συλλογισμό, με τη μορφή «η ανοησία είναι πίστη» [19]
Η λογοτεχνική έκφραση του κόσμου, μόνο με την τραγωδία, το δράμα, το ρομάντζο, ή τα θρησκευτικά κείμενα δεν αρκεί, πλέον. Η ανθρωποκεντρική θεώρηση του σύμπαντος, ότι, δηλαδή, ο άνθρωπος αποτελεί το κέντρο και τον τελικό σκοπό του, δεν είναι θαύμα.
Όπως λέει το Ερπετό στο έργο Πίσω στον Μαθουσάλα τού George Berbard Shaw «θαύμα είναι κάτι αδύνατο που είναι ωστόσο δυνατόν. Κάτι που δεν θα μπορούσε ποτέ να συμβεί και όμως συμβαίνει». [20]
Θαύμα είναι, ότι ο άνθρωπος υπάρχει ως πιθανοδυνατότητα πραγματοποιημένη μέσα στο αχανές σύμπαν, και τον λόγο της ύπαρξής του τον δίνει ο ίδιος ο άνθρωπος.
Το λυκόφως, στο οποίο βρίσκεται ο κόσμος μας σήμερα, ίσως είναι το λυκόφως τους δειλινού, καθώς η μαυροφτέρουγη νύχτα απλώνει δίχτυα.
Ίσως, όμως, να ζούμε στο Λυκόφως του Λυκαυγούς, την πιο σκοτεινή ώρα της ημέρας, πριν από το Λυκαυγές, όπου η Αυγή αρχίζει να φωτίζει τον κοιμισμένο κόσμο, και να τον ξυπνάει.
«Aν ξυπνήσεις μονομιάς
θα’ρθει ανάποδα ο ντουνιάς» [21]
«Η φαντασία είναι η αρχή της δημιουργίας. Φαντάζεσαι ό,τι επιθυμείς, θέλεις αυτό που φαντάζεσαι και στο τέλος δημιουργείς αυτό που θέλεις» [22]
Ο κόσμος δεν είναι μόνο τραγικός, ρομαντικός, θρησκευτικός, αλλά είναι και α(νεν)νόητος.
«κόσμον τόνδε, τὸν αὐτὸν ἁπάντων, οὔτε τις θεῶν οὔτε ἀνθρώπων ἐποίησεν, ἀλλ᾽ ἦν ἀεὶ καὶ ἔστιν καὶ ἔσται πῦρ ἀείζωον, ἁπτόμενον μέτρα καὶ ἀποσβεννύμενον μέτρα» (Ηράκλειτος) [23]
Βιβλιογραφικές Παραπομπές
1. Douglas R. Hofstadter. «Goedel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid.» Penguin Books 1980. σελ. 378.
2. Χρήστου Μαλεβίτση «Η Τραγωδία της Ιστορίας» (ΔΩΔΩΝΗ 1980 σελ. 139)
3. Edward Strachey, “Nonsense as a Fine Art” (The Quarterly Review, Οκτώβριος 1888 Definitions of Nonsense Literaturehttps:
//www.nonsenseliterature.com ›)
4. Χρήστου Μαλεβίτση «Η Τραγωδία της Ιστορίας» (ΔΩΔΩΝΗ 1980 σελ. 36)
5. Λιούις Κάρολ «Μες στον Καθρέφτη και Τι Βρήκε η Αλίκη Εκεί» Μετάφραση του Σωτήρη Κακίση. (Υ Βιβλία.1979. Σελ. 107)
6. Ferdinand de Saussure, «Γενικά Μαθήματα Γλωσσολογίας» Μετάφραση: Ι. Δ. Αποστολόπουλου. (Παπαζήσης, Αθήνα, 1979).
7. Roland Barthes, «Στοιχεία σημειολογίας. Η σημασία», στο «Κείμενα Σημειολογίας» Μετάφραση: Κ. Παπαγιώργης, (Νεφέλη, Αθήνα, 1981. Σελ. 89-98.
8. Μounin Georges, Κλειδιά για τη γλωσσολογία, μετάφραση Άννας Αναστασιάδη-Συμεωνίδη, εκδ. Μορφωτικό Ίδρυμα Εθνικής Τραπέζης, Αθήνα, 1984. Σελ.78-79.
9. Wittgenstein Ludvig, «Tractatus Logico-Philosophicus» Μετάφραση: Θ. Κιτσόπουλος, (Παπαζήσης, Αθήνα, 1978.
10. FW 19, ΑΤΦ 112. FW: James Joyce «Finnegans Wake» ( Penguin Books 1992. Σελ. 19). ΑΤΦ: «Η Αγρύπνια των Φίννεγκαν» Εισαγωγή – Μετάφραση – Σχόλια Ελευθέριος Ανευλαβής. (ΚΑΚΤΟΣ 2013. Τόμος Α΄ σελ. 112.)
11. George Berbard Shaw «Back to Mathuselah» (Part 1, Act 1)
12. George Berbard Shaw «Back to Mathuselah» (Part 1, Act 1)
13. Dawson JM Jr. «The reception of Godel’s incompleteness theorems. In: «Godels Theorem in Focus.» Edited by S.G.Shanke
r. Routledge. 1988. Σελ. 74-95
14. Godel Curt. «On formally undecidable proposition of principia mathematica and related systems I.» In: «Godels Theorem in Focus.» Edited by S.G.Shanker. Routledge 1988. Σελ. 17-47)
15. Πλάτωνος «Κρατύλος c1 5-6»,
16. Jackson, Holbrook. «Masters of Nonsense. All Manner of Folks: Interpretations and Studies» London. Grant Richards Ltd., 1912; pp. 30-44
17. Michael Heyman, «Naissance» Εισαγωγή στο «The Tenth Rasa: Anthology of Indian Nonsense»(Νέο Δελχί: Penguin, 2007).
18. G. K. Chesterton, «The Defendant», second edition, London, R. Brimley Johnson, 1902. Το κείμενο λαμβάνεται από την έκδοση του Project Gutenberg G.K. Chesterton,
19. Heyman, Michael, «An Indian Nonsense Naissance» in «The Tenth Rasa: An Anthology of Indian Nonsense» edited by Michael Heyman, with Sumanyu Satpathy and Anushka Ravishankar. New Delhi: Penguin, 2007.
20 George Berbard Shaw «Back to Methuselah Part 1, Act 1»
21. Κώστας Βάρναλης «Η Μπαλάντα του Κυρ Μέντιου»
22. Back to Methuselah Part 1, Act 1
23. Χαρης Λαμπρίδης «Ηράκλειτος Βλόσωνος Εφέσιος» (ΚΛΕΙΩ 1991. Απόσπασμα 30. Σελ. 174)
Παρακαλώ, θα έχω μια απάντηση από την ΕΠΟΠΤΕΙΑ;
ΕΥΧΑΡΙΣΤΩ
Ελευθέριος Ανευλαβής.